Factorisation 2023-10-06

$C re a t e d : 2023 - 10 - 06$

Factorisation

Quant ont factorise un polynome ont tente de trouver quelle multiplication a donner le polynome, il a plusieur methode pour le faire. En d’autre mots il faut le représenter sous a la forme d’une produit de facteurs.

Transclude of Factorisation

Cela peut aussi etre représenter comme trouver les coter d’un rectancle d’ont l’aire est un polynome

$(x + 2) (x + y) = x^{2} + x y + 2 x + 2 y$

Du côter gauche de l’équation ci-dessue, la version factoriser. De l’autre, la version non factoriser, l’aire vs les mesure de côter

Mise En Évidence Simple

Pour faire le mise en évidence simple il faut mettre en évidence le plus grand facteur comun a tous les termes. Par example

2 x^{3} + 6 x^{2} - 10 x = 2 x (x^{2} + 3 x - 5)

Mise En Évidence Double

La mise en évidence double est une technique pour factoriser un polynome a 4 terme.

TOUJOUR VERIFIER SI LA MISE EN ÉVIDENSE SIMPLE EN POSSIBLE

Étape 1 : Ordonner les termes de manier a ce que les termes qui ont un facteur comun soit ensemble. $2 x y + 3 x + 4 y + 6$ Ont sépare ensuite l’équation en deux $2 x y + 3 x ∣ + 4 y + 6$

Étape 2 : Faire une mise en évidence simple de chaque côter de la séparation. $2 x y + 3 x ∣ + 4 y + 6$ Ont comence par faire une mise en évidence simple sur les deux coter $x (2 y + 3) + 2 (2 y + 3)$

Étape 3 : Faire une mise en évidence simple sur les deux groupes pour faire resortir les deux groupes. Il vaut trouver un diviseur comun deux deux groupes, un binome $\frac{x ( 2 y + 3 )}{( 2 y + 3 )} + \frac{2 ( 2 y + 3 )}{( 2 y + 3 )}$ Ont sépare ensuite le facteur sur le coter $(2 y + 3) \times (x + 2)$

Example

$\frac{40 x y ^{2}}{2 y} - \frac{16 x y}{2 y} + \frac{50 y ^{3}}{2 y} - \frac{20 y ^{2}}{2 y}$ Ont trouve une diviseur comun de 2y (mise en évidence simple)

$2 y (20 x y - 8 x + 25 y^{2} - 10 y)$ Ont s’assure qu’il y as des termes comun a gauche et a droite, ici ont a des facteurs comun donc ont est correct.

$2 y (20 x y - 8 x ∣ + 25 y^{2} - 10 y)$ Ont sépare

$2 y (4 x (5 y - 2) + 5 y (5 y - 2))$ Mise en évidence simple des deux bors

$2 y (\frac{4 x ( 5 y - 2 )}{5 y - 2} + \frac{5 y ( 5 y - 2 )}{5 y - 2})$ ont trouve un binome comun de $5 y - 2$

$2 y (5 y - 2) (4 x + 5 y)$ Ont applique le binome comunn en le sortant sur le coter et metant les autres facteur retirer dans une autre parentaise.

Métode Somme Produit Pour Les Trinome

Suposon l’equation facotirser $(x + 3) (x + 2)$ $= x^{2} + 2 x + 3 x + 6$ $= x^{2} + 5 x + 6$

Ont peut visualser cela comme un rectangle comme celui-ci

Transclude of Factorisation-1

Si maitenant ont ovulat factoriser $x^{2} + 6 x + 8$ Ca nous donne $(x + 2) (x + 4)$ Ont peut le visualiser de cette maniere

Transclude of Factorisation-2

Ont peut desormais comprendre l’intiution visuelle pour la metode somme produit

Géneralisation De L’intuition Visuelle

Danger

La nouvelle métode s’aplique uniquement a des trinôme

Note

L’exemple de $6 x + 11 x + 4$ serat utiliser ici

Étape 1 : Identifier $a$ , $b$ , $c$ ou $a$ est le coeficient de $x^{2}$ ou $b$ est le coeficient de $x$ ou $x$ est le terme adionner

Étape 2 : Trouver 2 entiers, tels que :

Produit = $a \times c$
Somme = $b$

Donc dans note example ont trouve les nombre $8$ et $3$ Ont utilise $S$ pour le premier nombre (somme ( $b$ )) Et $P$ pour le deuxieme nombre (produit ( $a \times c$ ))

Étape 3 :

Remplacer le $b$ du trinôme par les deux nombre trouver $6 x^{2} + 3 x + 8 x + 4$ Ont tente de placer les termes pour qu’il y as le plus de termes de chaque côter.

Étape 4 :

Factoriser le nouveau polynôme a l’aide de la mise en évidence double.

Donc dans notre cas on fait : $6 x^{2} + 3 x ∣ + 8 x + 4$ $=3x(2x+1)+4(2x+1)$$a\times c$ $= (2 x + 4) (3 x + 4)$

Métode Par Différence Des Carrés

La métode par différence de carrés est utilse pour factorier la diference entre deux carrer ( $a^{2} - b^{2}$ )

Étape 0 : EST CE QUE JE PEUT FAIRE UNE MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE

Étape 1 : Identifier $a^{2}$ et $b^{2}$ , en s’assurant qu’il y as bien un $-$ entre les deux termes et que ce sont des carrées parfaits

Important

IL FAUT TOUJOUR VERIFIER SI LES DEUX NOMBRE SONT DES CARRÉE PARFAIT

Étape 2 : Factoriser selon son identiter remarquable, soit $a^{2} + b^{2} = (a - b) (a + b)$

Dont si nos parametre dans l’équation a factoriser sont $A$ et $B$ alord notre équation factoriser est $(A + B) \times (A - B)$

Trinome Carrée Parfait

Permet de factoriser un trinôme carrée parfait $a x^{2} + b x + c$ par sont identier remarquable correspondante.

Étape 0 : VERIFIER SI ONT PEUT FAIRE MISE EN ÉVIDENCE SIMPLE Étape 1 : Identifier $a$ , $b$ , $c$ Étape 2 : Verifier que $a$ et $c$ sont des carrées parfaits Étape 3 : Vérifier que le terme su milieu (sans sont signe) est égale a $2 \times a \times c$ donc $∣ b ∣= 2 \times a \times c$ Étape 4 : Si les étapes prédécentes sont vrai alors le trinôme $a x^{2} + b x + c$ est un trinôme carrée parfait. Factoriser le trinôme carrée parfait a l’aide d’une des 2 identiées remarquable de $2^{i \overset{e}{ˋ} me}$ degré, selon le signe devant $b$ dans le trinôme carrée parfait.

Factoiser selon $(a + c)^{2}$ Si $b$ est postiif
Factoriser selon $(a - c)^{2}$ si $b$ est négatif

Danger

Le signe au millieux de la parentese factoriser est TOUJOUR le signe entre $a$ et $b$

Imporant

Le dernier ET le premier terme d’un trinôme carrée parfait est TOUJOUR positif

Éxample

Soit le trinôme $x^{2} - 24 x + 144$

1 : $a$ et $c$ sont des carrée parfaits ⇒ OUI 2 : Est ce que $24 = 2 \times a \times c$ $2 \times 1 \times 144 = 24$ ⇒ OUI 3 : $b$ est nétatif, donc notre factorisation suit $(a - c)^{2}$ dont notre équation factoriser serait $(x - 12)^{2}$

Completion De Carrée

Méthode a utliser si :

$a$ , $b$ et $c$ sont de grands nombres et que la technique “somme produit” est trop dificiel
$a$ , $b$ et $c$ sont des nombre rationelles

1 : Reperer $a$ , $b$ et $c$ . Si $a \neq = 1$ faire une mise en évidence simple de a 2 : Avec le trinôme obtenue, construire un trinôme carrée parfait qui utilise les 2 premiers termes dans les parenthèses. Il faut se rappeler que le 2e terme d’un TCP est toujours le double produit de $a$ et $b$ . Le coefficient de $a$ étant 1, il est possible de touver $b$ .

Pour crée un TCP, il faut donc ajouter un 3e terme qui sera un nombre carré et conrrespondra a $b^{2}$ . Ce teme ajouter doit aussitôt retrancher pour ocnserver l’égaliter avec le polynôme initial. 3 : Factoriser le tinôme carrée parfait obtenue a l’étape précédente, et exécuter les calculs restant 4 : Si ont obtien une différence de 2 carrés, factoriser, sinon, c’est temrinet 5 : Au besoin, distuber le a a un des 2 binômes (surtout dans les prolèmes ou ily a des figures geometrique)

Example

$3 x^{2} - 54 x - 189$ $3 (x^{2} - 18 x + 81 - 81 - 63)$ $3 ((8 - 9)^{2} - 144)$

Ordre De Factorisation

graph TB

1{mise en évidence simple}
2(mise en évidence double)
3(somme-produit)
4(diference de carrée)
5(trinôme carrée parfait)
6(Effectuer et revenir au début)
7{Combien de termes ?}
8{Trinôme carrée parfait ?}

1 -- OUI ---> 6 
1 -- NON ---> 7
7 -- 3 termes ---> 8
8 -- OUI ---> 5 --- 6
8 -- NON ---> 3 --- 6
7 -- 4 termes ---> 2 --- 6
7 -- 2 termes ---> 4 --- 6

Nils's notes

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Mise En Évidence Simple

Mise En Évidence Double

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Métode Somme Produit Pour Les Trinome

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Métode Par Différence Des Carrés

Trinome Carrée Parfait

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Completion De Carrée

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