Cour 22 derivation logarithmique 2025-11-25

$Created:2025-11-25$

Cour 22 derivation logarithmique

Ont peut dériver une fonction de style $x^a$, ansi que $a^x$, mais pourait dériver une fonction de forme $f(x{)}^{g(x)}$. Ont nomme la regle pour ceci la dérivation logarithmioque.

Prenont l’example $y=x^{\tan (x)}$ :

• Ont met ln de chaque côter : $\ln (y)=\ln (x^{\tan (x)})$.
• Ont utilise les propriété des log, spécifiquement pour l’exponentiation : $\ln (y)=\tan (x)\cdot \ln (x)$
  • Notre équation est désormais dérivable, mais ont doit dériver implicitement, car ont n’a plus de regle simple pour $y$.
• Ont obtien $\frac{dy}{dx}=y\left({\sec }^2(x)\cdot \ln (x)+\frac{\tan (x)}{x}\right)$
• Ont doit ensuite uniquement exprimment le résultat en therme de la variable d’origine ($x$ dans cette example). Ont remplace donc par nottre regle pour x : $\frac{dy}{dx}=x^{\tan (x)}\left({\sec }^2(x)\cdot \ln (x)+\frac{\tan (x)}{x}\right)$

Dériver d’une puissance avec un exposant réel :

La regle reste la même : $x^k$ donne $k\cdot x^{k-1}$

Regle de l’hopital

Certaines limites sont dificile a évaluer normalement, par example :

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$$

Ont obtion la forme idéterminer $\frac{0}{0}$ Ont applique ensuite la regle de l’hoitale

Regle

Elle nous dit que si ont a une forme indéterminer $\frac{0}{0}$ et $\frac{\infty }{\infty }$, alors la regle suivante s’applique : ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

Ont peut donc applique cette regle a notre example, donc

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}$$

devient :

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos (x)}{1}$$

ce qui est trivialement trouvable comme étant 1

Il faut toujour indiquer quand ont utilise le regle de l'hopitale

Il faut toujour indiquer quand ont utilise la regle.

Ont peut appliquer la regle plusieur fois, mais il faut toujour simplifier avant de le faire

Parfois, si ont applique la regle de l’hopital, ont tourne end rond et on se retrouve a notre point de déppart. Dans ces cas la il faut utiliser les autres méthode pour contourner l’indétermination.5