Cour 3 limites graphiquement 2025-09-02

f #note

$Created:2025-09-02$

Cour 3 limites graphiquement

L’objetif du calcul d’une limite est d’étudier le comportement d’une fonction autour d’une valeur de $x$.

Une limite repond au questions du style :

De quelle valeur, si elle existe, s’approche la fonction lorsque x s’approche d’une valeur a

Un example de raisonement pour la fonction $f(x)=-\frac{3x^2}{10}+\frac{9x}{10}+\frac{7}{5}$ lorsque x s’approche de 1.

Ont pourait donc dire que :

Lorsque x s’approche de 1, par des valeurs inférieures a 1, f s’approche de 2

Lorsque x s’approche de 1 par des valeurs supreirue a 1, fa s’pproche de 2.

Donc lorsque x approche de 1, f s’approche de deux.

Cela peut être vue comme une table de valeur.

$x$	0.9	0.99	0.999		1.001	1.01	1.1
$f(x)$	1,9670	1,9970	1,9997		2,0003	2,0030	2,0270

A la prlace de approche de, ont dit “tend vers”

Example 2

Dans un graphique discontinue tel celui ci, ont approche de de valeur differente selon le côter, donc il n’y a pas une seule valeur de limite bien defenit, ont dit donc que la limite n’existe pas ($\nexists$). Ont peut également noter que l’ont peut approche le point non-defenit vers le haut. Même si il est vide.

Example 3

Dans un example comme celui-ci, ont peut uniquement approcher a partir de $x>1$ parce que la fonction n’est par defenit en dessous. Ont approche donc d’un seul nombre.

Précisions

• Une limite s’approche par les deux côter en restant dans le domaine de f
• La variable x prend des valeur de plus en plus pres de a, mais JAMAIS $x=a$, $x\ne a$ ⇐ Toujour vraie.
• Il est possible que la valeur d’ont on se rapproche ne soit pas dans le domaine de $f$ (par example, si ont veux que x approche 1, $f(1)$ n’a pas besoin d’exister)

Suposition graphique

Lorsque nous travaillons usr des représentation graphique nous devons faire des suppositions raisonable sur la aprtie que nous ne voyons pas. Nous supposons que la fonction ne fait rien d’extravangant en dehors de la zone afficher Si la fonction ne continuer pas, il y a un point ouvert ou un point fermé pour signaler l’arrêt.

Notation	Signification
Évaluer $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$	Évaluer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$
$x\to \infty$	$x$ tend vers l’infinit
$x\to -\infty$	$x$ tend vers moins l’infinit
$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\nexists$	La limite de f quand x tend vers a n’exite pas
$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\exists$	La limite de f quand x tend vers a existe
$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\infty$	La limite grand autant qu’ont veux lorsue x se rapproche de a
$x\to a^{-}$	x tend vers a par la gauche
$x\to a^{+}$	x tend vers a par la droite

Attention

Quand le résultat d’une limite est l’infinit, le resultat de la limtie n’existe touour pas. Cela veux dire qu’il s’agit d’une asymtote.

Defenition formelle d'une limite

Soit $f$ une fonction, $a$ un nombre réel, $I$ un interval ouvert tel que $a\in I$ et $I\setminus \{a\}\supseteq dom(f)$ Ont dit que $\underset{x\to a}{\lim }f(x)\exists$ si et seulement si $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L$ ou $L\in \mathbb{R}$

Contuinuiter

Une fonction est continue si il n’y a pas de trou dans son domain, et qu’il n’y a pas de saut abrupt dans l’image.