Cour 4 limites algerbriquement 2025-09-04

f #note

$Created:2025-09-04$

Cour 4 limites algerbriquement

Contuinité en un point

Pour qu’une fonction soit continut sur un point a, il faut que :

• $a\in dom(f)$
• \lim_\limits{ x \to a } f(x) \exists
• \lim_\limits{ x \to a } f(x) = f(a)

Theorem

Toutes les fonction usuelles non-définies par parties sont continues en chanque valeur de leur domaine. Ce qui est important de noter pour le domaine est que : Ont ne peut pas diviser par zero. Sous une racine paire, ont doit avoir un nombre positif ou nul. L’argument d’un log est positif.

Continuite sur un interval

Soit a et b deux nombre réels. Une fonction f est continue sur l’interval $[a;b]$ si et seulement si les trois critre suivant sont respectés :

• $f$ est continue en tout point de l’intervalle $]a;b[$
• \lim_\limits{ x \to a^+ } f(x)=f(a)
• \lim_\limits{ x \to b^- } f(x)=f(b)

Petite notes sur les intervals ouverts

Si l’ont a un interval du style $]a;b]$ alors ont n’a pas besoin du critrere de continuiter en un point pour a, et vice-versa pour $b$

Evaluation d’une limite

Si l’ont sais qu’une fonction est continue pour le point desirer dans la limite, alors la limite doit nécésairement être égale a $f(a)$, donc ont peut jutse efaluer la limite.

Notation

Quand ont fait une limtie en continuiter, il est important que l’ont specifie que la fonction est continue en particuluer pour la valeur de a, pas juste globalement.

Dans ce cas, c’est la même chose peut important le direction dont on approche, parce que par defenition c’est égale.

Théoreme

Soit $p(x)$ un polynôme et a un nombre réel. Alors : \lim_\limits{ x \to a } p(x)=p(a)

Si notre limite tned vers l’infinit, ont vas parle de forme déterminter, $f_d$. Cette forme de la fonction nous indique a quel point la fonction diverge. Par example, ont peut savoir que si nous avont $x^7$, ont sais que un grand nombre mutliplier par n tres grand nombre est égale a un beaucoup plus grand nombre.

Forme édtermintier defenition

Ont dit q’une limite a une forme déterminée lorsquil est possible de déterminer la valeur de la limite sans transformation algébrike.

Example serait, i $k\in \mathbb{R}$ $\infty +k\to \infty$ $\infty +\infty \to \infty$ $\pm \infty \cdot \pm \infty \to \pm \infty$ $\frac{k}{\pm \infty }\to 0$

Les multiplication se font par les regles des signes

Attention

Ont ne fait jamais de calcul avec l’infini Ont ne peut pas non plus faire de calcul avec $a^{+}$ et $a^{-}$

Si ont se rammase avec une forme déterminer de style $\infty -\infty$. Il n’y a donc pas de forme intéderminer. Pour regler cela, ont peut parfois faire de la factorisation pour se ramaser purement avec des multiplication. Il y a plein de maniere d’écrire ne fonction differament

Les forment indéerminers sont :

• $\infty -\infty$
• $\frac{0}{0}$
• $\pm \frac{\infty }{\infty }$
• $1^{\pm \infty }$
• $0^0$
• ${\infty }^0$
• $0\cdot \pm \infty$

Pour reformuler une fonction de maniere a évite les forme indéterminer, ont peut souvent factoriser. Soit par une factorisation normale, ou en mettant en évidence la plus grande puissance (mise en évidence forcée)

Pour faire une mise en evidence forcer, ont vas mettre en evidence le plus grand terme, et ensuite trouver notre forme déterminer

Théorgeme : Comportement d'un polynôme a l'infit

Une polynome se comporte a l’infnie comme sont temre au plus haut degré.

Notation

Le symbole de limite doit être présente jusque ce que la limite soit évaluer. Il doit disparaitre lorsque la limite est évaluée.

Théoreme du sandwitch

Si deux fonction ont la même limite, et que une autre fonction est nécésairement entre les deux, alors ils ont nécésairement la même valeur Ont peut le représenter par le théoreme suivant : Soite $c$ et $L$ des nombe réels et soit les fonctions $f$, $g$, $h$ telles que $g(x)\le h(x)\le f(x)$ dans un intervalle $]a;b[$ contenant c. Si \lim_\limits{ x \to c } f(x) = \lim_\limits{ x \to a } g(x) = L alors \lim_\limits{ x \to a } h(x)=L

Propiriété des dlimites

Si ont additione des chose dans la limite, c’est l’équivalent de prendre la limite des termes indiiduellemnt et les additioner. De même pour des soustraction

Pour une limite de multiplication, alors ont peut prendre les limites des terme et les multiplier par la suite. Si ont multiplie un fonction par une constante, alors ont peut prendre la limite de la fonction et multiplier par la constante par la suite.

Si il y a divsion de deux fonction dans une limite, alors ont peut prendre la limite des deux terme individuellement et ensuite les diviser, si le diviser n’est pas égale a 0

Si les fonction sont continue, et l’ont compose un fonction dans une autre, ont peut prendre la limite de la fonction interne, et ensuite simplefment effection la deuxieme fonction. Particulierement utile pour les exposants.

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x{)}^n=(\underset{x\to a}{\lim }f(x){)}^2$$

Continiter algebriquement pour ne fonction par partie

Pour une fonction par partie il fau tfaire attention au “valeur charniere”, soit les valeurs a l’intersection entre deux section de la fonction. Il faut donc appliquer les trois regle de la continuiter en un point pour savoir si la fonction est continue en ce point.