Continuiter 2025-09-06

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$Created:2025-09-06$

Continuiter

Intutivement, une fonction est continuer si ont la “tracer” sans “lever le crayon”. Plus rigoureusement, ont peut defenir la continuiter sois pour un seul point, soit pour un interval.

Continuiter en un point

Ont dit qu’une fonction $f(x)$ est continue en un point $x=a$ si elle répond au criteres suivant :

1. $a\in dom(f)$ : Le point $x=a$ est dans le domaine de $f(x)$
2. \lim_\limits{ x \to a }f(x) \exists : La limite de $x\to a$ sur $f(x)$ existe
3. \lim_\limits{ x \to a }f(x) =f(a) : La valeur de la limite est égale a la valeur de la fonction

Example 1 :

Dans cette fonction, ont cherche a déterminer la fonction pour le point $x=1$. Le critere 1. est satisfait, car la valeur de $f(1)=3$. Le critere 2. est satisfait car la limite du point $x\to a$ existe et est égale a $1$. Cependant, la limite n’est pas égale a la valeur de la fonction, donc la fonction n’est pas continue en ce point.

Continuiter sur un interval

La defenition de la continuiter sur un interval est comme ce suit :

Soit $a\in \mathbb{R}$ et $b\in \mathbb{R}$ une fonction $f(x)$ est continue sur l’inveral $[a;b]$ si les criteres suivant sont respecter :

1. $f$ est continuer sur tout point de l’interval $[a;b]$
2. \lim_\limits{ x \to a^+ }f(x)=f(a) : Continuiter sur le point $a$
3. \lim_\limits{ x \to b^- }f(x)=f(b) : Continuiter sur le point $b$

Pour un interval ouvert tel $]a;b[$, les condition 2. et 3. peuvent être ignorer.

Tout les fonctions non-defenit par partie sont continue sur leur domaine

Contuiner algebriquement

Pour trouver si une fonction defenit par partie est continue en un point, alors ont peut simplement verifier si les trois criteres de continuiter sont applicable pour ce point.

Propriété est fonctions continue

Si $f$ et $g$ sont des fonction continue en $x=a$ alors :

1. $f(x)\pm g(x)$ est continue en $x=a$
2. $f(x)\cdot g(x)$ est continue en $x=a$
3. $\frac{f(x)}{g(x)}$ est continue en $x=a$ si $g(a)\ne 0$
4. $f(g(x))$ est continue en $x=a$ si $f$ est continue en $g(a)$

Continuiter pour les fonctions algebrique

Pour les fonctions algebrique, la continuiter doit être verifier de la même maniere que les polynomes. Il faut cependament tenir en compte les discontinuiter dans la fonction. Pour ce faire, ont cherche les situation suivante :

• Division par zero
• Nombre négatif sous une racine pair
• Logaritme d’un nombre négatif

Ont doit résoudre pour les $x$ qui ont pour résultat un de ces critères, ce sont des discontinuiter.

Vue d’un autre maniere les interval de continuiter sont toutes les section non-interompue de la fonction

Pour des fonctions defenit par partit il faut également faire les test abituels sur les valeurs charnières.