Propriété des limites 2025-09-06

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$Created:2025-09-06$

Propriété des limites

Les limites, tel les exposants ont certaines propriété qui nous permetes des les manipules.

Soit $a,L_1,L_2\in R$. Si \lim_\limits{x \to a}f(x)=L_{1} et \lim_\limits{x \to a}g(x)=L_{2} alors les relations suivantes sont vrais :

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)+\underset{x\to a}{\lim }g(x)=L_1+L_2$$

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$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(x)=L_1\cdot L_2$$

En particulier, si $f(x)$ est une constante, alors :

$$\underset{x\to a}{\lim }(k\cdot g(x)=k\cdot \underset{x\to a}{\lim }g(a)=k\cdot L_2$$

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\lim_{ x \to a }\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)=\frac{\lim_\limits{x \to a}f(x)}{\lim_\limits{x \to a}g(x)}=\frac{L_{1}}{L_{2}}

Si $L_2\ne 0$

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Si la fonction $g$ est continue en $L_1$, alors :

$$\underset{x\to a}{\lim }(g(f(x)))=g(\underset{x\to a}{\lim }f(x))=g(L_1)$$

En particuler :

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x{)}^n)=(\underset{x\to a}{\lim }f(x){)}^2=L_1^n$$

si $n\in \mathbb{R}$ et $L_1\in dom(x^n)$

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