f #note
Limite de fonction algebrique
Les limites d’une fonction algebrique peuvent être dificile a trouver. Ceci est principalement en raison des asymptotes, qui font en sorte que l’ont retrouve souvent des formes indéterminer tel quand l’ont tente d’évaluer la limite.
Il faut donc traiter chaqun des cas de forme indéterminer de maniere differente.
Premierement, il faut savoir si notre fonction est defenit par partie. Si la valeur de notre limite est une valeur frontière, il faut évaluer la limite des deux directions et déterminer si elle existe.
Forme indéterminer
Si notre limite prend un forme indéterminer de forme alors il faut simplement évaluer notre limite dans le deux directions. Si le résultat est different, alors la limite n’existe pas, sinon, elle existe.
Forme indéterminer
Si ont se retrouve avec une forme indéterminer , alors on peut faire une des trois asutuces suivant :
- Dans le cas d’un quotient de polynome :
- Factoriser les polynomes, puis simplifier leurs facteurs commun
- Dans le cas ou le numérateur ou le dénominateur ont une racine :
- Ont multiplie le haut et le bas par le conjuguer du terme avec la racine
- Dans le cas ou le haut ou le bas sont consituer de deux factions :
- Effectuer l’opération et simplifier
Forme indéterminer
Dans le cas d’une forme indéterminer , ont principalement dans des fonctions rationelles. Il faut donc simplement mettre en évidence forcer les termes les plus haut en haut et en bas, puis simplifier.
Forme indéterminer
Si notre fonction a pour forme indéterminer nous avont trois posibiliters, soit :
- Ont peut multiplier par une fraction avec le conjuguer de notre expression en haut et en bas
- Si c’est une addition ou soustraction (souvent de fraction) ont peut mettre sur un même dénomiteur et effectuer l’operation.
Danger
Ont peut utiliser propriété des limites pour rendre le travail plus simple. La regle pour la composition de fonction par particulierement utile.
Voici un diagrame pour aider a trouver :
graph TD infty["Calcul de forme $$\ \lim_{x \to \infty} f(x)$$"] num["Calcul de forme $$\ \lim_{x \to a} f(x)$$"] q1("Est ce que $$\ f(x)\ $$ est defenit par partie ?") q2("Est ce que $$\ a\ $$ est une valeur frontiere ?") q1non("Remplacer $$\ x\ $$ par a dans l'expression de la limite") q2oui["Effectuer la limite dans les deux dirrections"] infty2[""" Faire tendre $$\ x\ $$ vers $$\ \pm\infty \ $$"""] qfd(Forme indéterminer ?) fd0["Évaluer limite dans les deux dirrection"] qfd00["Quelle est le type de fonction ?"] fd00q["Factoriser le polynome, puis simplfier leurs facteurs commun"] fd00r["Multiplier haut et bas de la fraction par conjuguer du terme avec la racine"] fd00f["Effectuer l'opération et simplifier"] fdinftyinfty["Mettre en évidene le terme avec le plus haut degrée, en haut et en bas, puis simplifier"] qfdi-i["Deux possibilitées"] fdi-ic["Multiplier par unen fraction avec le conjuguer de notre expression en haut et en bas"] fdi-if["Effection addition ou soustration"] num --> q1 q1 --"oui"--> q2 q1 --"non"--> q1non q2 --"non"--> q1non q2 --"oui"--> q2oui infty --> infty2 infty2 --> qfd q1non --> qfd qfd --"Forme $$\frac{k}{0}$$"--> fd0 qfd --"Forme $$\frac{0}{0}$$"--> qfd00 qfd00 --"Quotien de polynome"--> fd00q qfd00 --"Haut ou bas contien une racine"--> fd00r qfd00 --"Haut ou bas contien de deux fractions"--> fd00f qfd --"Forme $$\frac{\infty}{\infty}$$"--> fdinftyinfty qfd --"Forme $$\infty-\infty$$"--> qfdi-i qfdi-i ---> fdi-ic qfdi-i --"Si addition ou soustraction (souvent de fraction)"--> fdi-if