Croissance décroisance 2025-09-26

f #note

$Created:2025-09-26$

Croissance décroisance

Pour des fonctions simples, ont peut intuitivement savoir si une fonction est croissante ou décroisante. Il est important cependant de formaliser cette notion.

Ont peut dire qu’une fonction est croissante, si, sur un interval donner, tout les points a gauche d’un point defenit sont plus grand que ledti point.

Décrit mathématiquement :

Ont d’it qu’une fonction $f(x)$ est croisante sur un interval $I$ si : $f(x_1)\le f(x_2)\forall x_1,x_1\in I|x_1\le x_2$ Ont peut le lire comme était $f(x_1)$ est strictement plus petit que $f(x_2)$ pour tout $x_1$ ou $x_2$ contenue dans $I$ tel que $x_1$ est plus petit que $x_2$

Ont peut également décrie une notion d’un fonction strictement croissante, ayant la même defenition que si dessus, sauf que les $\le$ sont remplacer par $<$. Cella veux dire qu’il n’y a pas de “plataux”, la fonction est toujour en train d’augmenter

Remarquons que

Si une fonction est scrictement croissante, alors elle est nécésairement croisante. Mais pas vice-verca

Pour les fonction décroissance

Ont peut facilement généraliser ceci a une fonction décroissance, simplement en inversant le $<$ pour le $>$

Pour les fonction constante

Si $x_1=x_2$ alors ont dit que la fonction est constante sur l’inveval $I$ Une fonction qui est croissante mais pas scrictement croissante est nécésairement constante sur un sous-interval de $I$

Impact sur les dérivées

Si ont sais qu’une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle $I$, et ont sais qu’elle est soit croissante, décroisante ou constante, ont peut déduire des chose a propos de sa dériver. Soit :

• Si $f$ est croisante sur $I$, alors $f^{\prime }(x){\ge }_0$ sur $I$
  • A noter que a part si la fonction est strictement croissante, la dériver peut être égale a zero
• Ont peut facilement généraliser cela pour les fonction $f(x)$ décroisante ou constante

Ont peut également déduire que pour que $f$ passe d’être décroisante a croisante ou vice-versa, il faut que $f$ atein un maximum relatif, ou qu’il y a une discontinuiter.